Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是AB和AD延长线上的点，BE=DF．
（1）求证：△CEF是等腰直角三角形；
（2）若S_△CEF=，①当AF=5DF时，求正方形ABCD的边长；②通过探究，直接写出当AB=kDF（k＞1）时，正方形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠CDF=180°-∠ADC=90°，
∴∠B=∠CDF，
在△BEC和△DFC中，，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴EC=FC，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠DCF+DCE=90°，
即∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形；

（2）解：①∵AF=5DF，
∴可设DF=x，（x＞0），则AF=5x，BC=AD=4x，BE=x，
由勾股定理得：CE²=x²+（4x）²=17x²，
∵S_△CEF=，且△CEF是等腰直角三角形，
∴S_△CEF=×CE²=×17x²=，
解得：x=1，
∴AD=4，
即正方形ABCD的边长为4；
②当AB=kDF（k＞1）时，CE²=DF²+CD²=（k²+1）DF²，
∴S_△CEF=×CE²=（k²+1）DF²=，
∴DF²=，
∴AB²=k²DF²=，
即正方形的面积为．
分析：（1）根据正方形的性质可得BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，再求出∠CDF=90°，从而得到∠B=∠CDF，再利用“边角边”证明△BEC和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=FC，全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠CF，然后求出∠ECF=90°，即可得证；
（2）①设DF=x，表示出AF=5x，然后求出BC=4x，根据勾股定理求出CE²，再根据等腰直角三角形的面积等于直角边平方的一半列式求出x，然后求出正方形的边长即可；
②根据①的思路表示出CE²，再根据等腰直角三角形的面积等于直角边平方的一半列出方程表示出DF²，再求出AB²，即可得解．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，（1）求出三角形全等是解题的关键，（2）根据三角形的面积列出方程是解题的关键．