Question

如图，已知在平行四边形ABED中，AE是对角线，∠B=∠EAD，延长BE至点C，使EC=BE，并连接DC．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）若AB=AD=4，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABED是平行四边形，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴∠EAD=∠AEB，
∵∠B=∠EAD，
∴∠AEB=∠B，
∴AB=AE，
∵EC=BE，AD=BE，
∴AD=EC，
∵AD∥BE，
∴AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AE=AB，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形；

（2）解：∵AB=AD=4，AB=EC．AB=DC，
∴DC=4，=AB，BC=8，
过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥BC于G，
则∠AFB=∠AFE=∠DGC=90°，AF∥DG，
∵AD∥BC，
∴四边形AFGD是矩形，
∴AD=GF=4，AF=DG，
∵AB=CD，
∴由勾股定理得：BF=CG=2，
由勾股定理得：AF==2，
∴梯形ABCD的面积是×（4+8）×4=24．
分析：（1）求出AB=AE，得出平行四边形AECD推出AE=CD，推出AB=CD即可；
（2）过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥BC于G，求出AF=DG，求出AF长，根据梯形面积公式求出即可．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形性质，等腰梯形的性质和判定的应用．