Question

如图，等边△ABC，G是△ABC的重心，直线AG把△ABC分成面积相等的两部分，但是不是过G点的任意一条直线都把△ABC分成面积相等的两部分？用实验或说理的方法，给予探索并得出结论．

Answer 1

分析：显然不是，可以过G作AB的平行线，分别交AC、BC于E、F，设直线AG与BC的交点为M，问题就变成了三角形CEF和四边形AEFB的面积关系；可过M作EF的平行线，交AC于N，通过构建相似三角形来得到AE、CE的比例关系，然后根据相似三角形△CEF和△CAB（因为EF∥AB）的相似比求出它们的面积比，从而得到△CEF和四边形AEFB的面积比是否为1：1．

解答：解：不是．
理由：如图，过G作直线EF∥AB，交AC于E、BC于F，
设直线AG与BC的交点为M，过M作MN∥EF，交AC于N．
∵G是△ABC的内心，
∴BM=MC，AG=2GM．
∵GE∥MN，
∴

AE

AN

=

AG

AM

=

2

3

，即AE=

2

3

AN．
∵BM=MC，即M是BC的中点，且MN∥EF∥AB，
∴MN是△ABC的中位线，即AN=NC．
∴AE=

2

3

AN=

2

3

NC．
设AE=2x，则AN=NC=3x，EN=x，
∴EC=NC+EN=4x，AC=AE+EC=6x．
∵EF∥AB，
∴△CMN∽△CBA，
∴

S△CMN

S△CBA

=（

EC

AC

）²=

4

9

，
故S_△CEF：S_{四边形AEFB}=4：5．
因此过G点的任意一条直线不是都能把△ABC分成面积相等的两部分．

点评：此题结合等边三角形的性质考查了三角形面积的求法、相似三角形的判定和性质以及三角形重心的相关知识；由于本题中所要求的是“过G点的任意一条直线”，因此可选用比较特殊的直线（例如：平行、垂直等）进行探索．