Question

如图，已知⊙O上A、B、C三点，∠BAC=30°，D是OB延长线上的点，∠BDC=30°，⊙O半径为．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果AC∥BD，证明四边形ACDB是平行四边形，并求其周长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，如图
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°
又∵∠BDC=30°，
∴∠DCO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC∥BD，
∴∠ABO=∠BAC=30°，
又∵∠BDC=30°，
∴∠ABO=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
在Rt△CDO中，
∵∠BDC=30°，OC=，
∴OD=2OC=，CD=OC=，
∴DB=OD-OB=，
∴平行四边形ABDC的周长=2（DB+DC）=2（+）=+．
分析：（1）连接OC，由于∠A=30°，利用圆周角定理可知∠BOC=60°，而∠BDC=30°，利用三角形内角和定理可求∠DCO=90°，从而可证CD是⊙的切线；
（2）由于AC∥BD，那么∠ABO=∠BAC=30°，而∠BDC=30°，等量代换可得∠ABO=∠BDC，根据平行线的判定可知AB∥CD，于是可证四边形ABDC是平行四边形，在Rt△OCD中，由于∠BDC=30°，OC=，可知OD=2OC=2，易求BD=，
再利用特殊三角函数值可求CD=，进而可求平行四边形ABCD的周长．
点评：本题考查了切线的判定、平行四边形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是先证明CD是⊙的切线，并证明四边形ABDC是平行四边形．