Question

已知在正方形ABCD中，F在对角线AC上，BF⊥FE，且AF=CE=2，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：过点F作FH⊥CD于D，作MN∥AN分别交BC、AD于M、N，根据正方形的性质可得FH=FM，△ANH是等腰直角三角形，四边形FHDN是矩形，然后求出AN=BM=FN=DH=

2

，再根据同角的余角相等求出∠BFM=∠EFH，利用“角角边”证明△BFM和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得EH=BM，再求出CD，然后根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点F作FH⊥CD于D，作MN∥AN分别交BC、AD于M、N，
∵点F是正方形ABCD对角线上的点，
∴FH=FM，△ANH是等腰直角三角形，四边形FHDN是矩形，
∵AF=2，
∴AN=BM=FN=DH=

2

，
∵BF⊥FE，
∴∠BFM+∠CFM=90°，
又∵∠EFH+∠EFM=90°，
∴∠BFM=∠EFH，
在△BFM和△EFH中，

∠BFM=∠EFH ∠BMF=∠EHF=90° FH=FM

，
∴△BFM≌△EFH（AAS），
∴EH=BM，
∴CD=DH+EH+CE=

2

+

2

+2=2+2

2

，
∴正方形ABCD的面积=（2+2

2

）²=12+8

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判断与性质，熟记各性质并作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键．