Question

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O过点A的切线与CD的延长线交于⊙O，且∠ADE=∠BDC．
（1）求证：AC=BC；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得∠ADE=∠ABC，根据圆周角定理得∠BAC=∠BDC，然后利用∠ADE=∠BDC易得∠ABC=∠BAC，于是根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据切割线定理得到EA²=ED•EC，则可计算出ED=4，然后证明△EAD∽△EAC，则可利用相似比计算出AD．

解答 （1）证明：∵∠ADE=∠ABC，∠BAC=∠BDC，
而∠ADE=∠BDC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC；
（2）解：∵EA为切线，EDC为割线，
∴EA²=ED•EC，
∴ED（5+ED）=36，解得ED=4，
即EA：ED=EC：EA，
而∠AED=∠CEA，
∴△EAD∽△EAC，
∴AD：AC=DE：AE，即AD：12=4：6，
∴AD=8．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决（2）小题的关键是根据切割线定理计算出DE，证明△EAD∽△EAC．