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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和lcm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
    （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
    （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；当点P运动到什么位置时，四边形APQC的面积最小，并求出最小面积．

    【答案】分析：（1）用t表示出AP、BQ、BP，然后分①∠BQP=90°，②∠BPQ=90°两种情况，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半列式计算即可得解；
    （2）过P作PM⊥BC于M，求出PM的长度，然后表示出△PBQ的面积，在过点A作AN⊥BC于N，然后求出AN的长度，再求出△ABC的面积，然后根据S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ整理即可得到y与t的函数关系式，再根据二次函数的最值问题求出t的值，即可得到点P得到位置．
    解答：解：（1）根据题意，得AP=2tcm，BQ=tcm，
    ∵AB=6cm，
    ∴BP=（6-2t） cm，
    若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
    ①当∠BQP=90°时，∵∠B=60°，
    ∴∠BPQ=90°-60°=30°，
    ∴BQ=BP，
    即t=（6-2t），
    解得t=（秒）．
    ②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，
    ∴∠BQP=90°-60°=30°，
    ∴BP=BQ，
    即6-2t=t，
    解得t=（秒），
    答：当t=秒或t=秒时，△PBQ是直角三角形；

    （2）过P作PM⊥BC于M，
    则Rt△PBM中，sinB=，
    ∴PM=PB•sin60°=（6-2t）=（3-t），
    S△PBQ=BQ•PM=t•（3-t），
    过A作AN⊥BC于N，
    则Rt△ABN中，sinB=，
    ∴AN=AB•sin60°=6×=3，
    ∴S△ABC=BC•AN=×4×3=6，
    ∴y=S△ABC-S△PBQ=6-t•（3-t）=t2-t+6，
    ∴y与x之间的函数关系式为y=t2-t+6，
    又∵y=t2-t+6=（t-）2+，
    ∴当t=时，即AP=2t=3（cm），点P运动到边AB的中点时，四边形APQC的面积最小，其最小面积为．
    点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，二次函数的最值问题，解直角三角形，（1）要注意分情况讨论，（2）根据四边形APQC的面积等于两个三角形的面积的差列式是解题的关键，也是常用的方法之一．
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    		2
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    ，BC=
     
    ．

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    （1）求证：AE与⊙O相切；
    （2）当BC=6，cosC=
    14
    ，求⊙O的直径．

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    ．

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    ①②③④
    ．（填序号）
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    70
    度．

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