Question

如图，BC是⊙P的直径，直线AD交⊙P于点A，且满足∠BAD=∠BCA，
（1）求证：直线AD是⊙P的切线；
（2）以BC所在直线为y轴，点C为原点，建立如图所示的直角坐标系，若点A坐标为（3，4），求⊙P的半径．

Answer 1

（1）证明：∵BC为圆的直径，
∴∠BAC=90°，
∵由题意得∠BCA=∠PAC，∠BAD=∠BCA，
∴∠PAD=90°即PA⊥AD，
∴直线AD是⊙P的切线；

（2）解：设圆半径为R，
作AE⊥BC于点E，如图，
由题意CE=4，AE=3，
在Rt△ACE中由勾股定理，得
AC=
同理在Rt△AEB中，
由BE=2R-4，AE=3，根据勾股定理，得
AB=
∵BC为圆的直径
∴∠BAC=90°
∴在Rt△ABC中由勾股定理得
BC²=AB²+AC²
代入所求的值得
4R²=25+（2R-4）²
16R=50
R=
答：⊙P的半径为．
分析：（1）由弦切角定理，根据已知条件即证．
（2）设该圆半径为R，根据由点A坐标，作AE垂直于BC于点E，由勾股定理求得AC的长为5，AB关于R的表示式，由BC为圆的直径则∠BAC为直角，根据勾股定理从而求得R．
点评：本题考查了切线的性质和判定，首先从弦切角定理来判定切线，再根据圆直径所对的圆周角为直角，根据勾股定理进行计算．