Question

已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=a，若OA上有一动点M，OB上有一动点N，则△PMN的最小周长为________．（结果用含a的式子表示）

Answer 1

a
分析：作P关于直线OA的对称点C，作P关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，则此时△PMN的周长最小，连接OC，OD，根据对称性质得出CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，求出∠COD=60°，得出△COD是等边三角形，推出CD=OC=OD=a，求出△PMN的周长的最小值是PM+MN+PN=CD，代入即可得出答案．
解答：
解：作P关于直线OA的对称点C，作P关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，
则此时△PMN的周长最小，
连接OC，OD，
∵P关于直线OA的对称点C，P关于直线OB的对称点D，
∴CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，
∵∠POM+∠PON=∠AOB=30°，
∴∠COD=∠COE+∠POE+∠DOF+∠POF=30°+30°=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=a，
即△PMN的周长的最小值是PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=a，
故答案为：a．
点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，对称的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是找出符合条件的M、N点的位置，题目比较好，但有一定的难度．