Question

如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=BD，∠BOC=60°．
（1）移动点A至如图1，四边形ABCD是平行四边形时（3）移动点A至如图2，四边形ABCD是梯形时，且AD∥BC，猜想并写出线段AC与线段AD、BC之间的关系，请证明你的结论；
（4）移动点A至如图3，四边形ABCD中，AD与BC不平行时，猜想并写出线段AC与线段AD、BC之间的关系，不必说明理由．
如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=BD，∠BOC=60°．
（1）移动点A至如图1，四边形ABCD是平行四边形时，BC=5，试写出AC的长度；
（2）在（1）的条件下，求证：AC=AD+BC；
（3）移动点A至如图2，四边形ABCD是梯形时，且AD∥BC，猜想并写出线段AC与线段AD、BC之间的关系，请证明你的结论；
（4）移动点A至如图3，四边形ABCD中，AD与BC不平行时，猜想并写出线段AC与线段AD、BC之间的关系，不必说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据由条件根据四边形ABCD是平行四边形就可以得出四边形ABCD是矩形，再由矩形的性质就可以得出结论；
（2）根据矩形的性质及其他条件就可以得出△AOD，△BOC为等边三角形，由等边三角形的性质就可以得出结论；
（3）当四边形ABCD为等腰梯形时，三角形ABO和三角形CDO也是等边三角形，所以会有AB+CD=AC；

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC．AC=2OC
∵∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC=BC=5，
∴AC=10；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AO=CO=

1

2

AC，BO=DO=

1

2

BD，
∵AC=BD，
∴AO=CO=BO=DO=

1

2

AC=

1

2

BD．
∵∠BOC=60°，
∴△AOD，△BOC为等边三角形，
∴AO=OC=BC=AD，
∵AC=AO+OC，
∴AC=AD+BC；
（3）AB+CD=AC；
∵四边形ABCD是梯形，AC=BD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
过B作AC的平行线，交DC的延长线于点E．则四边形ACEB是平行四边形，
∴AC=BE=BD，
∴∠BDC=∠E，∠E=∠ACD
∴∠BDC=∠ACD
又∵∠DOC=60°，
∴△DOC都是正三角形，
同理：△AOB是等边三角形．
∴OA=OB=AB，OD=OC=DC
即AB+CD=AO+C0=AC；
（3）不成立，应为AB+CD＞AC．
如图所示过B作BM∥AC，过C作CM∥AB，
则四边形ABMC为平行四边形，
∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC，
∵∠DOC=60°，
∴∠DBM=∠DOC=60°
∴三角形DBM为等边三角形，
∴BM=AC=DM
在△CDM中，CM+CD＞DM，
即AB+CD＞AC．

点评：本题考查了平行四边形的性质的运用、矩形的性质的运用、等腰梯形的基本性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时灵活运用等边三角形的性质是关键．