Question

如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．
（1）证明：△ABG≌△ADE；
（2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由；
（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S₁，△ADG的面积为S₂，判断S₁与S₂的大小关系，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）因为ABCD和AEFG为正方形，所以∠GAE=∠BAD=90°，等号两边都加上∠EAB，得到∠GAB=∠EAD，且AG=AE，AD=AB，利用“SAS”即可得证；
（2）∠BHD=90°，理由是：由（1）得出的三角形全等，得到∠ADE与∠ABG相等，再根据对顶角相等，由两对角相等的三角形相似得到△AND与△HNB相似，由相似三角形的对应角相等得到∠BHD与∠BAD相等，而根据正方形ABCD得到∠BAD为90°，故∠BHD=90°；
（3）根据旋转角∠BAE为锐角，直角及钝角分为三种情况考虑：①当∠BAE为锐角时，如图所示，过点B作BM⊥直线AE于点M，过点D作DN⊥直线AG于点N．根据同角的余角相等得到∠MAB=∠NAD，由正方形的性质得到AB=AD，再由垂直得到一对直角相等，利用“AAS”得到△AND≌△AMB，根据全等三角形的对应边相等得到DN=BM，又AE=AG，根据等底等高的两三角形面积相等得S₁与S₂相等；②当∠BAE为直角时，如图所示，利用“SAS”得到△AGD与△ABE全等，故面积相等；③当∠BAE为钝角时，如图所示，根据①的思路，同理得到S₁与S₂相等，综上所述，在（3）的条件下，总有S₁=S₂．

解答：（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
∵∠GAE=∠BAD=90°，
∴∠GAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB，
即∠GAB=∠EAD，
又AG=AE，AB=AD，
∴△ABG≌△ADE；                   

（2）猜想∠BHD=90°．理由如下：
设：AB和DE交于点N，
∵正方形ABCD，
∴∠BAD=90°，
又∵△ABG≌△ADE，
∴∠ABG=∠ADE，又∠AND=∠BNH，
∴△AND∽△HNB，
则∠BHD=∠BAD=90°；（7分）

（3）证明：当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0°＜∠BAE＜180°时，S₁和S₂总保持相等．（8分）
证明如下：由于0°＜∠BAE＜180°分三种情况：
①当0°＜∠BAE＜90°时 （如图所示）
过点B作BM⊥直线AE于点M，过点D作DN⊥直线AG于点N，
∵∠MAN=∠BAD=90°，
∴∠MAB+∠BAN=90°，∠BAN+∠DAN=90°，
∴∠MAB=∠DAN，
又∠AMB=∠AND=90°，且AB=AD，
∴△AND≌△AMB，
∴BM=DN，又AE=AG，
∴

1

2

AE•BM=

1

2

AG•DN，
∴S₁=S₂；（9分）

②当∠BAE=90°时，如图所示：
∵AE=AG，∠BAE=∠DAG=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADG，
∴S₁=S₂；（10分）

③当90°＜∠BAE＜180°时 如图所示：
过点B作BM⊥直线AE于点M，过点D作DN⊥直线AG的延长线于点N．
∵∠MAN=∠BAD=90°，
∴∠MAB+∠DAM=90°，∠DAN+∠DAM=90°，
∴∠MAB=∠NAD，
由正方形ABCD，得到∠AMB=∠AND=90°，且AB=AD，
∴△AMB≌△AND，
∴BM=DN，又AE=AG，
∴

1

2

AE•BM=

1

2

AG•DN，
∴S₁=S₂，
综上所述，在（3）的条件下，总有S₁=S₂．（11分）

点评：此题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转的知识．学生作第三问时注意利用分类讨论及数形结合的数学思想解决问题，在证明时注意运用等底等高的两三角形面积相等这个性质．