Question

教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=

底边

腰

=

BC

AB

．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad 60°的值为（　B　）
A.

1

2

；B.1；C.

3

2

；D.2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sad A的取值范围是

 

．
（3）已知sinα=

3

5

，其中α为锐角，试求sadα的值．

Answer 1

分析：（1）根据定义可知，sad 60°=2sin60°，即可求解；
（2）根据sad A的定义即可确定；
（3）首先根据正弦的定义，是直角三角形边的比，然后根据sada的定义，构造以a为底角的等腰三角形，根据定义即可求解．

解答：解：（1）B；（4分）

（2）0＜sadA＜2；（4分）

（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=

3

5

．
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，
则AD=AC=

(5k)2-(3k)2

=4k，（1分）
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=

3

5

．
∴DH=AD•sin∠A=

12

5

k，AH=

AD2-DH2

=

16

5

k．
则在△CDH中，CH=AC-AH=

4

5

k，CD=

DH2+CH2

=

4 10

5

k．（2分）
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=

4 10

5

k．
由正对定义可得：2sin60°=

CD

AD

=

10

5

，即sadα=

10

5

．（1分）

点评：本题主要考查了三角函数的定义，正确理解定义，读懂题目中叙述的sada的含义是解决本题的关键．