Question

如图，点P是双曲线（x＞0）上动点，在y轴上取点Q，使得以P、Q、O 为顶点的三角形是含有30°角的直角三角形，则符合条件的点Q的坐标是________．

Answer 1

（0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8）
分析：设P点坐标为（a，b），a＞0，讨论：（1）若∠OQP=90°，①当∠POQ=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得b=a，而点P在反比例函数图象上，则=b，得到=a，可解得a=2，则b=2，于是可确定Q点坐标；②当∠OPQ=30°，利用同样方法可求Q点坐标；若∠OPQ=90°，作PA⊥y轴于A点，①当∠POQ=30°，根据（1）可得到P点坐标为（2，2），再计算AQ的长，即可得到Q点坐标；②当∠PQO=30°，计算方法与②一样．
解答：设P点坐标为（a，b），a＞0，
（1）若∠OQP=90°，
①当∠POQ=30°，则b=a，
∵=b，
∴=a，解得a=2，则b=2，
∴Q点坐标为（0，2），
②当∠OPQ=30°，则a=b，
∵=b，
∴=，解得a=2，则b=2，
∴Q点坐标为（0，2）；
（2）若∠OPQ=90°，
作PA⊥y轴于A点，如图，

①当∠POQ=30°，则b=a，
∵=b，
∴=a，解得a=2，则b=2，
∴P点坐标为（2，2），
∵∠QPA=30°，
∴AQ=AP=，
∴OQ=2+=，
∴Q点坐标为（0，）；
②当∠PQO=30°，则a=b，
∵=b，
∴=，解得a=2，则b=2，
∴P点坐标为（2，2）；
∵∠PQA=30°，
∴AQ=AP=6，
∴OQ=6+2=8，
∴Q点的坐标为（0，8）．
∴符合条件的点Q的坐标为（0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8）．
故答案为（0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8）．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y=图象上的点满足其解析式；利用含30°的直角三角形三边的关系可简化计算；运用分类讨论的思想使解题更加完整．