Question

如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，点B的坐标是，点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折后，点A 落在点P处。
（1）若点P在一次函数y=2x-l的图象上，求点P 的坐标；
（2）若点P在抛物线y=ax²上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；
（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值。

Answer 1

解：（1） ∵ ∴BC=OA=OP=1， ∵点P在一次函数y=2x-1的图象上， ∴设P（x，2x-1）， 如图（1），过P作PH⊥x轴于H， 在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1， ∴x2+（2x-1）2 =1， 解得x1=4/5，x2=0（不合题意，舍去） ∴P（4/5，3/5）；
（2）连接P、PC， ①若PB=PC，则P在BC中垂线y=1/2上， ∴设P（x，1/2）， 如图（2），过P作PH⊥x轴于H， 在Rt△OPH中，PH=1/2，OH=x，OP=1， ∴x2+=1 解得 ∴ ∴1/2=a×， 解得a=2/3， ∴y=x； ②若BP=BC，则BP=1， 连接OB， ∵OP=1， ∴OP+PB=2， ∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB= ∴OP+PB=OB， ∴O、P、B三点共线，P为OB中点， ∴1/2=a×， 解得：a=2/3， ∴y=x2 ③若CP=CB，则CP=1， ∴PO=PC，则P在OC中垂线上， ∴设，过P作PH⊥x轴于H， 在Rt△OPH中， ∴y2+=1， 解得：y1=1/2，y2=-1/2 时， ∴ 当点时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意， 若点，则1/2=a×， 解得：a=2/3， ∴y=x2 若点，则-1/2=a×， 解得：a=-2/3， ∴y=-x2
（3）如图（3），∵△OAD沿OD翻折，点A落在点P处， ∴OD垂直平分AP， ∵PC⊥OD， ∴A、P、C三点共线， 在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1， 又可得：∠AOD=30°， ∴AD=AO · tan30°=， ∴ 作点B关于直线AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于点N，连接DB′，DB′与AC交点为M，此点为所求点， ∵∠ACB′- ∠ACB=60°，∠ACO=30°， ∴∠B′CO=30°， ∵B′C=BC=1， ∴ 在Rt△B′ND中， ∠B′ND=90°，B′N=3/2，DN=AN-AD = ∴ ∴DM+ BM的最小值为。	（3）