Question

3．已知关于x的方程x²-（m-2）x-$\frac{{m}^{2}}{4}$=0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）设方程的两实数根为x₁，x₂，且满足（x₁+x₂）²=|x₁|-|x₂|+2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式△=2（m-1）²+2＞0，即可得到结果；
（2）由于x₁•x₂=-$\frac{{m}^{2}}{4}$≤0，可得x₁，x₂不同号，再分两种情况讨论可求m的值．

解答 解：（1）∵△=[-（m-2）]²-4（-$\frac{{m}^{2}}{4}$）=2m²-4m+4=2（m-1）²+2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x₁•x₂=-$\frac{{m}^{2}}{4}$≤0，
∴x₁，x₂不同号，
当x₂＜0，∵（x₁+x₂）²=|x₁|-|x₂|+2，
∴（x₁+x₂）²=x₁+x₂+2，
∴x₁+x₂=2，或x₁+x₂=-1，
∴m-2=2，或m-2=-1，
∴m=4，或m=1；
当x₁＜0时，∵（x₁+x₂）²=|x₁|-|x₂|+2，
∴（x₁+x₂）²=-x₁-x₂+2，
∴x₁+x₂=-2，或x₁+x₂=1
∴m-2=-2，或m-2=1，
∴m=0，或m=3．
故m的值为m=4或m=1或m=0或m=3．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．