Question

如图，抛物线y=ax²-5ax+b+

2

5

与直线y=

1

2

x+b交于A（-3，0）和点B，与y轴交于点C．在直线AB上方的抛物线有一点D，使得△DAB的面积是8，求点D坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：首先求得两个函数的解析式，然后假设点D的横坐标为t（-3＜t＜5），因为点D在抛物线y=ax²-5ax+b+

5

2

上，所以点D的纵坐标为-

1

6

t²+

5

6

t+4．再过点D作y轴的平行线交AB于E．因而点D、点E的横坐标相同，且纵坐标可以通过直线AB的解析式表示出来．因而S_△DAB就可以通过DE的距离（点D、E纵坐标的差值的绝对值）与点A、B横坐标的差值绝对值表示出来．

解答：解：将A（-3，0）代入y=

1

2

x+b，y=ax²-5ax+b+

2

5

，
得b=

3

2

，a=-

1

6

，
则抛物线解析式为y=-

1

6

x²+

5

6

x+4，
直线AB的解析式为y=-

1

2

x+

3

2

，
得：B（5，4），C（0，4）；
如图，设点D的横坐标为t（-3＜t＜5），
则点D的纵坐标为-

1

6

t²+

5

6

t+4．过点D作y轴的平行线交AB于E，
∴点E的坐标为（t，

1

2

t+

3

2

），
∴DE=（-

1

6

t2+

5

6

t+4）-（

1

2

t+

3

2

）=-

1

6

t²+

1

3

t+

5

2

，
∴S△DAB=

1

2

（-

1

6

t²+

1

3

t+

5

2

）×8=8，
解得t₁=-1，t₂=3，
∴D₁（-1，3），D₂（3，5）．

点评：考查的是用待定系数法求抛物线与直线的解析式．根据三角形的面积求动点坐标，主要是找到变化量、及不变量，进而得到动点坐标．