Question

如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝（x＞0）交于点B(2，1)，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两点.

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）∵点B(2，1)在双曲线y＝上，

∴，得m＝2.

设直线l的解析式为y＝kx＋b

∵直线l过A(1，0)和B(2，1)

∴，解得

∴直线l的解析式为y＝x－1.

(2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)（p＞1）

在直线l上，如图.

∵P(p，p－1)（p＞1）在直线y＝2上，

∴p－1＝2，解得p＝3

∴P(3，2)

∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2

把y＝2分别代入双曲线y＝和y＝，得M(1,2),N(-1,2)

∴，即M是PN的中点，

同理：B是PA的中点，

∴BM∥AN

∴△PMB∽△PNA.

（3）由于PN∥x轴，P(p，p－1)（p＞1），

              ∴M、N、P的纵坐标都是p－1（p＞1）

              把y＝p－1分别代入双曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0），

得M的横坐标x＝和N的横坐标x＝－（其中p＞1）

∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直线上，

∴,得MN=4PM

即＝4(p－)，整理得：p2－p－3＝0，

解得：p＝

由于p＞1，∴负值舍去

∴p＝

经检验p＝是原题的解，

∴存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM，

p的值为.