Question

已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN=90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+

1

3

BM=

1

2

BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为

BM-

1

3

DN=

1

2

BC

；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC=3：1，NQ=9

5

，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．

解答：解：（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ．
∴∠DPQ=∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴

NP

MB

=

PQ

QB

．
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=

1

2

DC
∴BQ=3DQ．DN+NP=

1

2

BC，
∴BQ=3PQ，
∴

NP

MB

=

1

3

，
∴NP=

1

3

BM．
∴DN+

1

3

BM=

1

2

BC．

（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°．
∵∠COB=45°，
∴QH∥OC．
∵Q是OB的中点，
∴BH=CH=

1

2

BC．
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴

HM

ND

=

QH

DQ

=

QM

NQ

=

1

3

，
∴HM=

1

3

ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM-

1

3

DN=

1

2

BC．
故答案为：BM-

1

3

DN=

1

2

BC

（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴PB=2x，
∴PM=x．
∵HM=

1

3

ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴

ND

CN

=

DE

CM

=

NE

NM

，

DE

BM

=

EF

FM

，
∴

3x

7x

=

DE

x

，

NE

NM

=

3

7

∴DE=

3

7

x，
∴

3 7 x

3x

=

EF

FM

=

1

7

∵NQ=9

5

，
∴QM=3

5

，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MN=

(9 5 )2+(3 5 )2

 =15

2

．
∴

NE

15 2

=

3

7

，
∴NE=

45 2

7

∴EM=

60 2

7

设EF=a，则FM=7a，
∴a+7a=

60 2

7

∴a=

15 2

14

点评：本题是一道相似的综合试题，考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定于性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键．