Question

11．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，点E是BC上一点，且满足AB²=BE•BC，AE与BD相交于点F．
（1）求证：△ABF∽△CBD；
（2）求证：EF•CD=AF•AD．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}$，由角平分线的性质得到∠ABD=∠DBC，即可得到结论；
（2）根据三角形角平分线定理得到$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{BE}$，$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，由于$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}$，等量代换得到$\frac{AF}{EF}=\frac{CD}{AD}$，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AB²=BE•BC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}$，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴△ABF∽△CBD；

（2）∵BD平分∠ABC，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{BE}$，$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
∵$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{CD}{AD}$，
∴EF•CD=AF•AD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形角平分线定理，熟练掌握三角形角平分线定理是解题的关键．