Question

如图所示，(1)P是△ABC内任意一点，求证：AB＋AC＞BP＋CP．

(2)通过上述的证明，你能否受到启发？若在△ABC内有任两点P、Q，连BP、PQ、QC(如图所示)，那么AB＋AC和BP＋PQ＋QC的大小关系如何呢？请说明理由．

　

Answer 1

答案：
解析：

(1)延长BP交AC于点E．在△ABE中，AB＋AE＞BE 　　∴AB＋AE＞BP＋PE　① 　　在△CPE中，PE＋EC＞PC② 　　①＋②得AB＋AE＋PE＋EC＞BP＋PE＋PC 　　∴AB＋AC＞BP＋PC． 　　(2)可得出AB＋AC＞PB＋PQ＋QC． 　　证明：延长PQ分别交AB、AC于E、F． 　　在△BEP中，BE＋EP＞BP　① 　　在△CFQ中，CF＋FP＞QC　② 　　在△AEF中，AE＋AF＞EP＋PQ＋PQ　③ 　　∴①＋②得　BE＋EP＋CF＋FQ＞BP＋QC　④ ③＋④得AE＋AF＋BE＋EP＋CF＋FQ＞EP＋PQ＋FQ＋BP＋QC 　　∴AB＋AC＞BP＋PQ＋QC． 　　分析：(1)要证明线段之间的不等关系，应首先考虑三角形的三边关系，将BP延长交AC于E．在△ABE和△PEC中由两边之和大于第三边即可证出． 　　(2)受上题启发，同样延长PQ交AB、AC分别为E，F．只须在△AEF，△BEP和△CFQ中由两边之和大于第三边可得出AB＋AC＞BP＋PQ＋QC．