Question

如图，已知E、F是?ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）线段BE与DF相等吗？说明理由；
（2）连接DE、BF，四边形BEDF是平行四边形吗？说明理由．

Answer 1

解：（1）线段BE与DF相等．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，且AB∥DC，
∴∠BAE=∠DCF．
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
∵在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；

（2）四边形BEDF是平行四边形．理由如下：
由（1）知，BE=DF．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
分析：（1）通过全等三角形（△ABE≌△CDF）的对应边相等推知BE=DF；
（2）由“一组对边平行且相等四边形是平行四边形“证得四边形BEDF是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．