Question

如图，∠CAB=∠ABD=90°，AB=AC+BD，AD交BC于P，作⊙P与AB相切．
试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P的位置关系怎样？请作出判断并加以证明．

Answer 1

解：⊙O与⊙P相内切．
理由：如图：若AB与⊙P切于Q，连接PQ，
∴PQ⊥AB，
设PQ=r，AC=a，BD=b，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴AC∥DB，
∴△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB，
∴=，=，
∴=，
∴r=，
∵⊙O的半径R=，
∴Rr=，
∴AQ===a，
∴OQ=-a=，
连接PO
则PO===-=R-r．
∴⊙O与⊙P相内切．
分析：首先设PQ=r，AC=a，BD=b，易证得△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB，得到 =，=，故可求得r的值；然后⊙O的半径R=，⊙P的半径为r=，可得到AQ===a，OQ=-a=，连接PO，由勾股定理得到PO=R-r，故⊙O与⊙P相内切．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．