如图.已知抛物线y=-x2+x+2的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点D．点M从O点出发.以每秒1个单位长度的速度向B运动.过M作x轴的垂线.交抛物线于点P.交BC于Q．(1)求点B和点C的坐标,时.四边形OBPC的面积为S.求S与x的函数关系式.并指出自变量x的取值范围,(3)在线段BC上是否存在点Q.使得△DBQ成为以BQ为一腰的等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2007•河池）如图，已知抛物线y=-

x²+

x+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）已知抛物线解析式，令y=0，x=0，可求B、C两点坐标；
（2）设点P的坐标为P（x，y），由S_{四边形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB可列出S与x的函数关系式，由于B（3，0），∴0≤x≤3；
（3）∵BQ为一腰，有两种可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的对应边的比，求出OM、MQ的长．
解答：

解：（1）把x=0代入y=-

x²+

x+2得点C的坐标为C（0，2）
把y=0代入y=-

x²+

x+2得点B的坐标为B（3，0）

（2）连接OP，设点P的坐标为P（x，y）
S_{四边形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=

×2×x+

×3×y
=x+

（

x²+

）
∵点M运动到B点上停止，
∴0≤x≤3
∴S=-（x-

）²+

（0≤x≤3）

（3）存在．
BC=

①若BQ=DQ
∵BQ=DQ，BD=2
∴BM=1
∴OM=3-1=2
∴

∴QM=

所以Q的坐标为Q（2，

）．
②若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，
∴

∴

∴QM=

∵

∴

∴BM=

∴OM=

所以Q的坐标为Q（

，

）．
综上所述，Q的坐标为Q（2，

）或Q（

，

）．
点评：本题考查了二次函数解析式的运用，坐标系里面积表示方法，及寻找特殊三角形的条件问题，涉及分类讨论和相似三角形的运用．

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