Question

19．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A、C分别在y轴、x轴上且点A，点C的坐标分别为A（0，a），C（b，0），满足a²+b²-4a-10b+29=0．
（1）求A、C的坐标；
（2）求B的坐标；
（3）若AB、BC与坐标轴交于D、E，在AC上取一点F，使AF=AD，连BF，过E作EG⊥BF交x轴于G，探究CG、EA、EG的数最关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）先配成两个完全平方式的和等于0，从而求出a，b即可得出点A，C坐标；
（2）由点A，C坐标求出直线AC解析式，由等腰直角三角形的性质即可得出点B坐标；
（3）利用点的坐标和互相垂直的直线的斜率互为负倒数，分别求出点F，E，G的坐标，最后求出CG，CE，AE，即可找出关系式．

解答 解：（1）∵a²+b²-4a-10b+29=0．
∴（a-2）²+（b-5）²=0，
∴a=2，b=5，
∴A（0，2），C（5，0），
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB⊥AC，AB=AC，
由（1）知，A（0，2），C（5，0），
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+2，
∴直线AB解析式为y=$\frac{5}{2}$x+2，
∴设点B（m，$\frac{5}{2}$m+2），
∴AB=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{5}{2}m+2-2）^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴m=2（舍）或m=-2，
∴B（-2，-3），
（3）由（2）知，直线AB解析式为y=$\frac{5}{2}$x+2，
∴D（-$\frac{4}{5}$，0），
∴AD²=$\frac{16}{25}$+4=$\frac{116}{25}$，
∵B（-2，-3），C（5，0），
∴直线BC解析式为y=$\frac{3}{7}$x-$\frac{15}{7}$，
∴E（0，-$\frac{15}{7}$），
由（2）知，直线AC解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+2，∴
设F（n，-$\frac{2}{5}$n+2），
∴AF²=n²+（$\frac{2}{5}$n）²=$\frac{29}{25}$n²，
∵AD=AF，
∴$\frac{29}{25}$n²=$\frac{116}{25}$，
∴n=-2（舍）或n=2，
∴F（2，$\frac{6}{5}$），
∵B（-2，-3），
∴直线BF解析式为y=$\frac{21}{20}$x-$\frac{9}{10}$，
∵EG⊥BF，E（0．-$\frac{15}{7}$），
∴直线EG解析式为y=-$\frac{20}{21}$x-$\frac{15}{7}$，
∴G（-$\frac{9}{4}$，0），
∴CG=$\frac{29}{4}$，EG=$\frac{3×39}{28}$，
∵AE=$\frac{29}{7}$，
∴CG=EG+AE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，待定系数法，平面坐标系内，两点间的距离公式，解本题的关键是用代数的方法解决几何问题．