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(1998•北京)如图,AB为半圆的直径,O为圆心,AB=6,延长BA到F,使FA=AB.若P为线段AF上的一个动点(P点与A点不重合),过P点作半圆的切线,切点为C,作CD⊥AB,垂足为D.过B点作BE⊥PC,交PC的延长线于点E.连接AC、DE.
(1)判断线段AC、DE所在直线是否平行,并证明你的结论;
(2)设AC为x,AC+BE为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
分析:(1)证Rt△PCD∽Rt△PBE得出比例式,根据切割线定理得出比例式,推出
PA
PC
=
PD
PE
,推出即可;
(2)连接BC,根据勾股定理求出BC2=36-x2,证Rt△ABC∽Rt△CBE,得出
AB
BC
=
CB
BE
,求出BE=
BC2
AB
=
36-x2
6
,代入即可求出答案.
解答:(1)线段AC、DE所在直线平行.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥PE,∠CPD=∠BPE,
∴Rt△PCD∽Rt△PBE,
PC
PB
=
PD
PE

∵PC与⊙O相切于C点,PAB为⊙O的割线
∴PC2=PA×PB
PC
PB
=
PA
PC

PA
PC
=
PD
PE

∵∠CPA=∠EPD,
∴△CPA∽△EPD,
∴∠PCA=∠PED,
∴AC∥DE;

(2)解:连接BC,
∵AB为半圆直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2
∵AC=x,AB=6
∴BC2=62-x2=36-x2
∵PC与半圆相切于点C
∴∠BAC=∠BCE,
∵∠ACB=∠BEC=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△CBE,
AB
BC
=
CB
BE

∴BE=
BC2
AB
=
36-x2
6

∵y=AC+BE
∴y=x+
36-x2
6

y=-
1
6
x2+x+6,
∵P为线段AF上动点(P点与A点不重合)
∴点P与点F重合时,AC的值最大,此时PC=
(6+3)2-62
=3
5

根据三角形面积求出CD=2
5

OD=
62-(2
5
)2
=4,AD=6-4=2,
即AC=
(2
5
)2+22
=2
6

∴y=-
1
6
x2+x+6,其中0<x≤2
6
点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定,切线的性质,平行线的判定,勾股定理,三角形的面积等知识点的综合运用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,难度偏大.
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