Question

已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，联结NO并延长与DE交于点K，联结AK并延长与BC交于点M，证明：M是BC的中点．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：证明题

分析：根据切线的性质得∠BDO=∠BNO=90°，则∠BDO+∠BNO=180°，所以B、N、O、D四点共圆，则∠KOD=∠B，同理，∠KOE=∠C；再根据三角形面积公式得到

S△DKO

S△EKO

=

DK

EK

=

1 2 OD•OK•sin∠KOD

1 2 OE•OK•sin∠KOE

=

sin∠KOD

sin∠KOE

=

sinB

sinC

，即

DK

EK

=

sinB

sinC

，同样根据三角形面积公式得到

S△ABM

S△ACM

=

BM

CM

=

1 2 AB•AM•sin∠BAM

1 2 AC•AM•sin∠CAM

=

AB•sin∠DAK

AC•sin∠EAK

，即

BM

CM

=

AB•sin∠DAK

AC•sin∠EAK

，根据三角形面积公式得到

S△ADK

S△AEK

=

1 2 AD•AK•sin∠DAK

1 2 AE•AK•sin∠EAK

，利用切线长相等得到AD=AE，所以

S△ADK

S△AEK

=

sin∠DAK

sin∠EAK

=

DK

EK

，于是

sinB

sinC

=

sin∠DAK

sin∠EAK

，所以

BM

CM

=

AB

AC

•

sinB

sinC

，然后根据正弦定理得

sinB

AC

=

sinC

AB

，即ABsinB=ACsinC，所以

BM

CM

=1．

解答：解：如图，∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，
∴∠BDO=∠BNO=90°，
∴∠BDO+∠BNO=180°，
∴B、N、O、D四点共圆，
∴∠KOD=∠B．
同理，∠KOE=∠C．
∴

S△DKO

S△EKO

=

DK

EK

=

1 2 OD•OK•sin∠KOD

1 2 OE•OK•sin∠KOE

=

sin∠KOD

sin∠KOE

=

sinB

sinC

，
∵

S△ABM

S△ACM

=

BM

CM

，
而

S△ABM

S△ACM

=

1 2 AB•AM•sin∠BAM

1 2 AC•AM•sin∠CAM

=

AB•sin∠DAK

AC•sin∠EAK

，
∴

BM

CM

=

AB•sin∠DAK

AC•sin∠EAK

，
∵

S△ADK

S△AEK

=

1 2 AD•AK•sin∠DAK

1 2 AE•AK•sin∠EAK

，
而AD=AE，
∴

S△ADK

S△AEK

=

sin∠DAK

sin∠EAK

=

DK

EK

，
∴

sinB

sinC

=

sin∠DAK

sin∠EAK

，
∴

BM

CM

=

AB

AC

•

sinB

sinC

，
∵

sinB

AC

=

sinC

AB

，即ABsinB=ACsinC，
∴

BM

CM

=1，
即M为BC的中点．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、切线长定理和正弦定理；也要会运用三角形的面积公式和圆内接四边形的性质．