Question

20．如图，点I是三角形ABC的内心，连接AI并延长交BC于点E，交三角形ABC的外接圆于点D，连接BD．
（1）若∠BAC=70°，∠D=40°，求∠CED的度数；
（2）试问BD与ID相等吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）由点I是△ABC的内心，得到∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC=35°，根据圆周角定理得到∠CBD=∠CAD=35°，∠D=40°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据点I是△ABC的内心，得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，根据三角形的外角的性质得到∠BID=∠IBD，根据等腰三角形的判定即可得到结论．

解答 解：（1）∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC=35°，
∵∠CBD=∠CAD=35°，∠D=40°，
∴∠CED=∠CBD+∠D=75°；

（2）BD=ID，
理由：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等．