Question

如图，直线y=x+1与双曲线y=

2

x

交于A、B两点，其中A点在第一象限．C为x轴正半轴上一点，且S_△ABC=3．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在坐标平面内，是否存在点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）解两函数组成的方程组即可得交点A、B的坐标；求直线与x轴交点坐标，再根据三角形的面积求OC的长就得C点坐标；
（2）以两边为邻边，另一边为对角线画平行四边形是可行的，所以点P存在．

解答：解：（1）依题意得

y=x+1 y= 2 x

，
解得：

x1=-2 y1=-1

或

x2=1 y2=2

，
∴A（1，2），B（-2，-1）
设直线y=x+1与x轴相交于点D（m，0），
当y=0时，m+1=0，
∴m=-1，
∴D（-1，0），
设C（n，0），
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BCD=

1

2

×（1+n）×2+

1

2

×（1+n）×1=3，
∴n=1，
∴C（1，0）；

（2）当AB是对角线时，点P₁（-2，1）；
当BC是对角线时，点P₂（-2，-3）；
当AC是对角线试，点P₃（4，3）；
∴存在P（-2，1）或（-2，-3）或（4，3），使以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形．

点评：此题利用了：
（1）求交点坐标即求它们组成的方程组的解；
（2）图形的分割转化思想；
（3）分类讨论思想．