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    （2012•高淳县二模）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．
    （1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；
    （2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
    （3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．
    分析：（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；
    （2）分三种情况讨论：①当DF=EF时，②当DE=EF时，③当DE=DF时，利用等腰三角形的性质与相似三角形的判定与性质，即可求得答案；
    （3）首先设P是AC的中点，连接BP，可证得点B，N，P共线，即可得点N沿直线BP运动，MN也随之平移，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形，然后求得?PQST的面积即为MN所扫过的面积．
    解答：解：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
    ∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
    ∵EF∥AC，
    ∴△BEF∽△BCA，
    ∴EF：CA=BE：BC，
    即EF：10=（t+4）：16，
    解得：EF=
    5
    8
    （t+4）（cm）；

    （2）分三种情况讨论：
    ①如图1，∵当DF=EF时，
    ∴∠EDF=∠DEF，
    ∵AB=AC，
    ∴∠B=∠C，
    ∵EF∥AC，
    ∴∠DEF=∠C，
    ∴∠EDF=∠B，
    ∴点B与点D重合，
    ∴t=0；
    ②如图2，当DE=EF时，
    则4=
    5
    8
    （t+4），
    解得：t=
    12
    5
    ；
    ③如图3，∵当DE=DF时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
    ∴△DEF∽△ABC．
    ∴
    DE
    AB
    =
    EF
    BC
    ，
    即
    4
    10
    =
    5
    8
    (t+4)
    16
    ，
    解得：t=
    156
    25
    ；
    综上所述，当t=0、
    12
    5
    或
    156
    25
    秒时，△DEF为等腰三角形．

    （3）如图4，设P是AC的中点，连接BP，
    ∵EF∥AC，
    ∴△FBE∽△ABC．
    ∴
    EF
    AC
    =
    BE
    BC
    ，
    ∴
    EN
    CP
    =
    BE
    BC
    ．
    又∵∠BEN=∠C，
    ∴△NBE∽△PBC，
    ∴∠NBE=∠PBC．
    ∴点B，N，P共线，
    ∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．
    如图5，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．
    ∵M、N分别是DF、EF的中点，
    ∴MN∥DE，且ST=MN=
    1
    2
    DE=2．
    分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，
    ∵当t=0时，EF=
    5
    8
    （0+4）=
    5
    2
    ，TK=
    1
    2
    EFsin∠DEF=
    1
    2
    •
    5
    2
    •
    3
    5
    =
    3
    4
    ；
    当t=12时，EF=AC=10，PL=
    1
    2
    AC•sin∠C=
    1
    2
    •10•
    3
    5
    =3．
    ∴PR=PL-RL=PL-TK=3-
    3
    4
    =
    9
    4
    ．
    ∴S平行四边形PQST=ST•PR=2×
    9
    4
    =
    9
    2
    ．
    ∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为
    9
    2
    cm2．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、平行四边形的性质以及矩形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
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