Question

8．已知关于x的一元二次方程x²+（2m+3）x+m²=0有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围
（2）若α，β是方程的两个实数根，且满足$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=-1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2m+3）x+m²=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=（2m+3）²-4m²＞0，解得m＞-$\frac{3}{4}$；

（2）∵α，β是方程的两个实数根，
∴α+β=-（2m+3），αβ=m²．
∵$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{α+β}{αβ}$=$\frac{-（2m+3）}{{m}^{2}}$=-1，
∴-（2m+3）=-m²，解得m₁=3，m₂=-1．

点评 本题考查的是根与系数的关系，熟知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$是解答此题的关键．