Question

已知：如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（O，）．以线段AB为一边作等边△ABC，且点C在反比例函数y=的图象上．
（1）求一次函数的关系式；
（2）求m的值；
（3）O是原点，在线段OB的垂直平分线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于m？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（O，），
∴，
解得：，
故此一次函数的关系式为：y=-x+；

（2）以AB为一边可以作两个等边△ABC，则顶点C有两个，分别为C1、C₂，
设在第一象限的点C₁（p，q），过C₁作C₁⊥AB于E，
∵A（3，0），B（O，），
∴OB=，AB==2，
∵△ABC₁是等边三角形，
∴AC₁=2，AE=，
∴AB=AC₁，AE=OB，
∵在Rt△AOB和Rt△C₁EA中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△C₁EA（HL），
∴∠BAO=∠AC₁E=30°，
∴∠C₁AO=90°，
∴C₁A⊥x轴，
∴p=3，
过C₁作C₁F⊥y轴于F，
则四边形OAC₁F是矩形，
∴OF=AC₁=2，
∴q=2，
∴C₁（3，2）；
∵C₁点在y=的图象上，
∴m=6；
又∵OB=，∠OBA=60°，
∴C₂（0，-），且C₂点不可能在双曲线y=的图象上，
∴m值只有一个，即m=6；

（3）存在．
理由：∵P在OB的垂直平分线上，
∴P在第一象限或第二象限，
∴P点有两个，分别为P₁，P₂，
设在第一象限的点P₁（a₁，），
根据题意，△ABP₁的面积为：m=3，
∵S_△ABC=AB•CE=×2×3=3，
∴S_△ABC=S_△ABP1，
设△ABP₁中AB边上的高h，
由三角形的面积公式，当S_△ABC=S_△ABP1时，
则h=C₁E，
∴C₁P₁∥AB，
设经过C₁P₁的直线的表达式为y₁=k₁x+b₁，
则k₁=k=-，
∵C₁（3，2），代入y₁=k₁x+b₁得：2=×3+b₁，
解得：b₁=3，
∴经过C₁P₁的直线的表达式为y₁=x+3，
点 P₁（a₁，）在直线上C₁P₁上，
把点P₁（a₁，）的坐标代入y₁=x+3，
∴=×a₁+3，
∴a₁=；
同理，设在第二象限的点P₂（a₂，），
设经过C₂P₂的直线的表达式为y₂=k₂x+b₂，
∵点C₂（0，-）在直线y₂=k₂x+b₂上，
∴，b₂=-，
∴y₂=x-，
∵P₂（a₂，）在直线y₂=x-上，
∴a₂=-，
∴P₂（-，）；
∴符合要求的P点有两个，分别为P₁（，），P₂（-，）．
分析：（1）由一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（O，），利用待定系数法即可求得此一次函数的关系式；
（2）由以AB为一边可以作两个等边△ABC，则顶点C有两个，分别为C1、C₂，可设在第一象限的点C₁（p，q），过C₁作C₁⊥AB于E，易证得C₁A⊥x轴，则可求得C₁的坐标；由∠ABO=60°，OB=AB，易得C₂（0，-）也可使得△ABC是等边三角形，继而可求得m的值；
（3）由△ABP的面积等于m，易得S_△ABC=S_△ABP；即可证得CP∥AB，即可求得直线CP的解析式，继而可求得P点的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、等边三角形的性质以及三角形面积问题．此题综合性强，难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．