Question

如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°．四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有
①△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合，
②△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合，
③沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合，
④沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合，
⑤△ACE的面积等于△ABE的面积．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

B
分析：由△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，易证得△ACE≌△ADB，即可得①正确；又由四边形ABCD是平行四边形，易证得△EAC≌△EAD，即可得△ACE≌△ADB≌△ADE，即可判定③④正确；由平行四边形的中心对称性，可得②错误，又由S_△ACE=S_△ADB=AD×BH=AD•AC=AC²，S_△ABE=AE•AB=AB²，AB＞AC，即可判定②错误．继而求得答案．
解答：①∵△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，
∴AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ADB中，
∵，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°（旋转角为∠EAB=90°）后与△ADB重合；
故①正确；
②∵平行四边形是中心对称图形，
∴要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，
故②错误；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=45°，
∴∠EAC=∠BAC+∠CAD=135°，
∴∠EAD=360°-∠EAC-∠CAD=135°，
∴∠EAC=∠EAD，
在△EAC和△EAD中，
∵，
∴△EAC≌△EAD（SAS），
∴沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合；
故③正确；
④∵由①③，可得△ADB≌△ADE，
∴沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合，
故④正确；
⑤过B作BH⊥AD，交DA的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BH=AC，
∵△ACE≌△ADB，
∴S_△ACE=S_△ADB=AD×BH=AD•AC=AC²，
∵S_△ABE=AE•AB=AB²，AB＞AC，
∴S_△ABE＞S_△ACE；
故⑤错误．
故选B．
点评：此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、折叠的性质以及旋转的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意证得△ACE≌△ADB≌△ADE是解此题的关键．