Question

喝粥牡丹砖雕艺术节于5月3日在临夏市东郊 公园隆重举行，某商贩决定在此艺术节期间经销一种艺术品，一种这种艺术品的成本价为每件20元，经市场调查发现，该艺术品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系为y=-2x+80，设这种艺术品每天的销售利润为p元．
（1）求p与x之间的函数关系式；
（2）该艺术品的销售价定为每件多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种艺术品的销售价不高于每件28元，该商贩想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每件多少元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：应用题

分析：（1）用每件的利润（x-20）乘以销售量即可得到每天的销售利润，即p=（x-20）y=（x-20）（-2x+80），然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式y=-2（x-30）²+200，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求函数值为150所对应的自变量的值，即解方程-2（x-30）²+200=150，然后利用销售价不高于每件28元确定x的值．

解答：解：（1）p=（x-20）y
=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600（20≤x≤40）；
（2）y=-2（x-30）²+200，
因为a=-2＜0，
所以x=30时，y的最大值为200，
即销售价定为每件30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）当y=150时，-2（x-30）²+200=150，解得x₁=35，x₂=25，
而销售价不高于每件28元，
所以x=25，
即商贩想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每件25元．

点评：本题考查了二次函数的实际应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．