Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=3秒时，直接写出点N的坐标；

（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）N（3，4），；（2）存在，最大值为6；（3）2或或．

【解析】试题分析：（1）根据A、B的坐标和勾股定理可得AB=10，当t=3秒时，AN= ,即N是AB的中点，由此得出点N的坐标为（3,4），设交点式利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积（3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长，分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可。

试题解析：解：（1）N（3，4）。

∵A（6，0）

∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则将N（3，4）代入得

4=3a（3﹣6），解得a=﹣。

∴抛物线的解析式： 。

（2）存在。过点N作NC⊥OA于C，

由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

∴NC=NAsin∠BAO= 。

∴。

∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6。

（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=ANsin∠BAO= ，AC=ANcos∠BAO=t。

∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t， ）。

∴。

又AM=6﹣t且0＜t＜6，

①当MN=AN时， ，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去）。

②当MN=MA时， ，即，解得t1=0（舍去），t2=。

③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=。

综上所述，当t的值取 2或或时，△MAN是等腰三角形。