Question

20．如图，点A是抛物线y=x²-4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为（2，-1）或（2，2）．

Answer 1

分析 根据抛物线对称轴解析式设点A坐标为（2，m），作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，证△AOP≌△AO′Q得AP=AQ=2、PO=QO′=m，则点O′坐标为（2+m，m-2），将点O′坐标代入抛物线解析式得到关于m的方程，解之可得m的值，即可得答案．

解答 解：∵抛物线y=x²-4x对称轴为直线x=-$\frac{-4}{2}$=2，
∴设点A坐标为（2，m），
如图，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，

∴∠APO=∠AQO′=90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q=90°，
∵∠QAO′+∠OAQ=90°，
∴∠AO′Q=∠OAQ，
又∠OAQ=∠AOP，
∴∠AO′Q=∠AOP，
在△AOP和△AO′Q中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠APO=∠AQO′}\\{∠AOP=∠AO′Q}\\{AO=AO′}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP=AQ=2，PO=QO′=m，
则点O′坐标为（2+m，m-2），
代入y=x²-4x得：m-2=（2+m）²-4（2+m），
解得：m=-1或m=2，
∴点A坐标为（2，-1）或（2，2），
故答案为：（2，-1）或（2，2）．

点评 本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键．