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    如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °

    ，则有结论EF＝BE＋FD成立；                                                                                                  1.如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

    2.若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

     

     

    1.结论EF= BE＋FD成立.

    延长EB到G，使BG=DF，连接AG.

    ∵∠ABG＝∠D＝90°, AB＝AD，

    ∴△ABG≌△ADF.

    ∴AG＝AF且∠1＝∠2．

    ∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．

    ∴∠GAE=∠EAF．

    又AE＝AE，

    ∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．

    即EF=BE+BG=BE＋FD．

    2.结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．

    在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

     

    应当是EF=BE－FD．

    在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

    ∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，

    ∴∠B＝∠ADF．

    ∵AB＝AD，

    ∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF．

    ∵∠1＝∠2，

    ∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．

    ∴∠GAE=∠EAF．

    ∵AE＝AE，

    ∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF

    即EF=BE－BG=BE－FD．

    解析:

    1.结论仍然成立．延长CB到G，使BG=FD，根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，进一步得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；

    2.结论不成立，应为EF=BE-DF，如图在CB上截取BG=FD，由于∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，可以得到∠B=∠ADF，再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，再根据全等三角形的性质就可以证明EF=EG=EB-BG=EB-DF．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    25、把正方形OFGE纸板按如图①方式放置在正方形纸板ABCD上，顶点G在对角线AC，并把正方形OFGE绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为а．
    （1）如图②，当а=90°时，请直接写出线段DE与BF的数量关系和位置关系；
    （2）如图③，当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请举例说明；
    （3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为矩形，其他条件不变，设AB=kAD（k＞0），当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）填空：如图1，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=
     
    度；
    （2）如图2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60度．以此为部分条件，精英家教网构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    26、如图1，在正方形ABCD中，若点E是△DBC内的一点，且DE=DC，BE=CE．
    （1）连接AE．说明△ABE≌△DCE的理由；
    （2）求∠BDE与∠CDE度数的比值；
    （3）拓展探索：若只将题中的条件“正方形ABCD”换成条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，2∠DBC=∠DCB”．如图2，研究∠BDE与∠CDE度数的比值是否与（2）中的结论相同，写出你的研究结果并说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
    （1）求证：EF+
    1
    2
    AC=AB；
    （2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，
    1
    2
    A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
    （3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    课本练习拓展：
    （1）如图1，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，△ABE经过旋转后得到△ADF，
    ①旋转中心是点
    A
    A
    ；旋转角度最少是
    90
    90
    度．
    ②爱动脑筋的小兵，在CD边上取点H使得∠HAE=45°，他发现：HE=BE+HD，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
    （2）思维闯关：
    如图2，在直角梯形ABCD中AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°BC=AB=6，E是 AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，则DE的长=
    5
    5
    ．（小兵运用解答（1）中所积累的经验和知识做出了该题）
    （3）动手闯过：
    ①小明有一块如图3所示的纸片，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．小明请小兵只剪一刀后把它拼成正方形，请你帮助小兵在图中画出剪拼得示意图．
    ②小兵好朋友小红现有两块同小明一样的纸片，如图4，小兵能否在每块上各剪一刀，然后拼成一个大的正方形？若能，请你画出剪法和拼法的示意图；若不能，简要说明理由．

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