Question

工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图．已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图1中的数据，计算这种铁球的直径．

Answer 1

【答案】分析：连接OA、OE，设OE与AB交于点P．得到四边形ABDC是矩形，然后根据垂径定理得到PA=PB，PE=AC；然后根据已知条件利用勾股定理求出⊙O的半径OA的值，进而计算出这种铁球的直径．
解答：解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P．如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ABDC是矩形
∵CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径
∴OE⊥CD
∴OE⊥AB
∴PA=PB
∴PE=AC
∵AB=CD=16cm，∴PA=8cm，
∵AC=BD=PE=4cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA²=PA²+OP²
即OA²=8²+（OA-4）²
∴解得OA=10cm，所以这种铁球的直径为20cm．
点评：本题考查了矩形的性质，垂径定理，以及勾股定理．