Question

1．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，C为$\widehat{AB}$的中点，过D点作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF=EF；
（2）连接AC，若AC∥DF，⊙O的半径为$\frac{25}{3}$，BE=$\frac{3}{5}$AE，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OD，根据垂径定理得到OC⊥AB，求得∠OCE+∠CEA=∠OCE+∠FED=90°，由DF是⊙O的切线，得到OD⊥DF，得到∠ODC+∠EDF=90°，等量代换得到∠DEF=∠EDF，于是得到结论；
（2）如图，作辅助线；证明OH⊥AB，AH=4λ，此为解题的关键性结论；证明CE=$\sqrt{10}$；列出方程r²=（r-3λ）²+（4λ）²，求出λ=$\frac{6}{25}$r=2，即可解决问题．

解答 解：（1）连接OC，OD，
∵C为$\widehat{AB}$的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠OCE+∠CEA=∠OCE+∠FED=90°，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODC+∠EDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF；
（2）如图，连接OA、OC；
由（1）知OC⊥AB，
∴AH=BH；
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF；而EF=DF，
∴∠DEF=∠CDF=∠ACD，
∴AC=AE；
设AE=5λ，则BE=3λ，
∴AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；
∴由勾股定理得：CH=3λ；
CE²=CH²+HE²=9λ²+λ²，
∴CE=$\sqrt{10}$；
在直角△AOH中，由勾股定理得：
AO²=AH²+OH²，
即r²=（r-3λ）²+（4λ）²，
解得：λ=$\frac{6}{25}$r=$\frac{6}{25}$×$\frac{25}{3}$=2，
∴CE=2$\sqrt{10}$．

点评 该题主要考查了圆的切线的性质的应用问题，垂径定理，勾股定理，解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、解答．