Question

如图，等边三角形ABC内有一个正方形DEFG，已知等边三角形边长为3，则正方形的边长为

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：过A作AM垂直于BC，交BC于M点，交DG于N点，由四边形DEFG为正方形，得到DG与BC平行，且四条边相等，设正方形的边长为x，由两直线平行得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似可得出三角形ADG与三角形ABC相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为正方形的边长．

解答：解：过A作AM⊥BC，交BC于M，交DG于N，如图所示：

∵四边形DEFG为正方形，
∴DG∥BC，DE=EF=FG=DG，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，AN⊥DG，
∴△ADG∽△ABC，
设DE=EF=FG=DG=x，
又△ABC为边长为3的等边三角形，AM⊥BC，
∴M为BC的中点，即BM=CM=

1

2

BC=

3

2

，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=

AB2-BM2

=

3 3

2

，
∴

DG

BC

=

AN

AM

，即

x

3

=

3 3 2 -x

3 3 2

，
解得：x=6

3

-9，
则正方形的边长为6

3

-9．
故答案为：6

3

-9

点评：此题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，以及正方形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．