Question

15．如图，正方形ABCD中，点M是边BC上一点（异于点B、C），AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连AK、MK．
（1）若M是BC的中点，且BC=4，求EF的长；
（2）求证：AE=DF+BM．

Answer 1

分析 （1）作FG⊥AB于G，根据三角形全等的判定方法AAS证明△ABM≌△FGE，得出EF=AM，利用勾股定理求出AM，即可得出EF的长；
（2）由矩形的性质和全等三角形的性质可得出AE=DF+BM．

解答 （1）解：作FG⊥AB于G，如图所示：
∵AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，
∴∠ANE=90°，AN=MN，AG=DF，
在△ABM和△FGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠AEN}&{\;}\\{∠ABM=∠EGF}&{\;}\\{AB=GF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△FGE（AAS），
∴EF=AM，
∵M是BC的中点，且BC=4，
∴由勾股定理得：AM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$；
（2）证明：由（1）知△ABM≌△FGE，
∴GE=BM，
∴AE=DF+BM．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质等知识；利用数形结合根据图形提供的数据求线段是解决问题关键．