Question

如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．

(1)求证：直线BF是⊙O的切线；

(2)若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结AE．∵AB是圆O的直径， 　　∴Ð AEB＝90°．∴Ð 1＋Ð 2＝90°． 　　∵AB＝AC，∴Ð 1＝Ð CAB．∵Ð CBF＝Ð CAB． 　　∴Ð 1＝Ð CBF，∴Ð CBF＋Ð 2＝90°． 　　∵即Ð ABF＝90°．∵AB是圆O的直径， 　　∴直线BF是圆O的切线． 　　(2)解：过点C作CG⊥AB于点G，∵sinÐ CBF＝，Ð 1＝Ð CBF，∴sinÐ 1＝， 　　∵Ð AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB·sinÐ 1＝， 　　∵AB＝AC，Ð AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2， 　　在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2， 　　∴sinÐ 2＝，cosÐ 2＝， 　　在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2． 　　∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC～△ABF．∴，∴BF＝＝．