Question

1．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B、D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．
（1）点C的坐标（3，0）；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S_△PEF=$\frac{3}{2}$S_△CEF，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；
（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（3）延长FC至M，使CM=$\frac{1}{2}$CF，连接EM，则S_△EFM=$\frac{3}{2}$S_△EFC，M（3，-0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S_△PEF=S_△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．

解答 解：（1）∵D（3，3），
∴OC=3，
∴C（3，0）．
故答案为（3，0）；
（2）∵AB=CD=3，OB=1，
∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），
设直线AC的解析式为y=ax+b，
则$\left\{{\begin{array}{l}{3=a+b}\\{0=3a+b}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$．
∵点E（2，m）在直线AC上，
∴m=-$\frac{3}{2}$×2+$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴点E（2，$\frac{3}{2}$）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点E，
∴k=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$；

（3）延长FC至M，使CM=$\frac{1}{2}$CF，连接EM，则S_△EFM=$\frac{3}{2}$S_△EFC，M（3，-0.5）．
在y=$\frac{3}{x}$中，当x=3时，y=1，
∴F（3，1）．
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S_△PEF=S_△MEF．
设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2a'+b'=\frac{3}{2}}\\{3a'+b'=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a'=-\frac{1}{2}}\\{b'=\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．
设直线PM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+c，
代入M（3，-0.5），得：c=1，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+1．
当x=1时，y=0.5，
∴点P（1，0.5）．
同理可得点P（1，3.5）．
∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，直线的斜率，以及一次函数解析式的确定，是一道综合性较强的试题．