Question

如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点。

（1）求c的值；
（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
（3）设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由。（图②供选用）

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过点D（）
∴
∴c=6。
（2）过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，　
∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S_△ABC=S_△ADC
∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF，∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM
即AC平分BD
∵c=6
∵抛物线为
∴
∵M是BD的中点
∴
设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点
∴
解得
∴直线AC的解析式为。
（3）存在．设抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP。