Question

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C
（1）求△ABC的面积；
（2）点C关于此抛物线的对称轴的对称点是D，若过点D的直线与此抛物线只有一个交点，求此直线的表达式；
（3）小敏发现有过A，B两点的抛物线如果与y负半轴交于点C′，M为抛物线的顶点，那么△AC′M与△AC′B的面积比不变，请你求出这个比值．

Answer 1

分析 （1）分别求出A、B、C三点坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
（2）设过点D的直线为y=kx+b，把D（2，-3）代入，得-3=2k+b，得b=-3-2k，得y=kx-3-2k，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3-2k}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，消去y得x²-（2+k）x+2k=0，根据△=0，列出方程即可解决问题．
（3）设过A、B两点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，求出C′、M′坐标，再求出△AC′M与△AC′B的面积（用a表示），即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=x²-2x-3，
令x=0得y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0得x²-2x-3=0，解得x=3或-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，CO=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•OC═$\frac{1}{2}$×3×4=6．

（2）如图1中，

∵抛物线的对称轴x=1，点C坐标（0，-3），C、D关于对称轴对称，
∴D（2，-3），设过点D的直线为y=kx+b，把D（2，-3）代入，
得-3=2k+b，
∴b=-3-2k，
∴y=kx-3-2k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3-2k}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，消去y得x²-（2+k）x+2k=0，
由题意，△=0，
∴（2+k）²-8k=0，
∴k=2，
∴直线CD的解析式为y=2x-7．

（3）如图2中，

设过A、B两点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，
∴C′（0，-3a），M（1，-4a），
∴S_△AC′M=S_△AOC′+S_△OC′M-S_△AOM=$\frac{1}{2}$•1•3a+$\frac{1}{2}$•3a•1-$\frac{1}{2}$•1•4a=a，
S_△ABC′=$\frac{1}{2}$•4•3a=6a，
∴S_△AC′M：S_△AC′B=a：6a=1：6．

点评 本题考查二次函数与坐标轴的交点、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．