Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ACO与sin∠BCO的乘积；
（3）在线段BC边上是否存在点P，使得以B、O、P为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在对称轴上是否存在一点P，使|PC-PB|的值最大，请求出点P的坐标．

Answer 1

解：根据题意可得
（1）y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）解方程-x²+2x+3=0得
x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，OB=3，
∴BC=，
∴tan∠ACO•sin∠BCO=×=；

（3）①当△BPO∽△BAC时，有
BP：OB=BA：CB，
∴BP=2，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，
∵PG∥OC，
∴△BPG∽△BCO，
∴PG：OC=BP：BC，
∴PG=2，
在Rt△BPG中，BG=2，∴OG=1，
∴P点坐标是（1，2），
②当△BPO∽△BCA时，同理可求P；

（4）存在，理由是：
利用对称性原理：求出C点的对称点N（2，3），
过B、N作直线，交对称轴于点P，
设直线BN的方程是y=ax+b，那么
，
解得y=-3x+9，
当x=1时，y=6，
故P点坐标是（1，6）．
分析：（1）根据二次函数顶点式可求函数解析式；
（2）先解方程-x²+2x+3=0，易求A、B点的坐标，从而易得OA=1，OC=3，OB=3，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求BC，进而可求tan∠ACO•sin∠BCO；
（3）分两种情况讨论：①当△BPO∽△BAC时，有BP：OB=BA：CB，易求BP，再过P作PG⊥x轴，交x轴于点G，由于PG∥OC，那么△BPG∽△BCO，利用比例线段可求PG，再利用勾股定理易求BG，从而可求OG，最后可得P点坐标；
②当△BPO∽△BCA时，同理可求P；
（4）存在，先利用对称性可求C点的对称点N，过BN作直线，交对称轴于P，先求过B、N的直线，再把x=1代入函数解析式即可求y，从而可得P点坐标．
点评：本题考查了二次函数的有关知识、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、勾股定理、三角函数的计算、解方程组．解题的关键是要注意结合题意画图，并且知道二次函数具有对称性．