Question

如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，

BC

=

CD

，过点C作CE⊥AD延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC=3，AC=4，求CE和AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，OA=OC，则∠OCA=∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE=90°；
（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答：解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵

BC

=

CD

∴DC=BC，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AE，
∵∠E=90°
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE=∠CAE=∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠E，
∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴

CE

AC

=

CD

AB

=

ED

BC

，

AE

AC

=

AC

AB

∵BC=3，AC=4，
∴AB=5，CD=3，
∴

CE

4

=

3

5

，

ED

3

=

3

5

，

AE

4

=

4

5

∴CE=

12

5

，ED=

9

5

，AE=

16

5

，
∴AD=AE-ED=

7

5

．

点评：考查了切线的判定定理和勾股定理，三角形相似的判定和性质，都是基础知识要熟练掌握．