Question

一位画家有若干个边长为1cm的正方体，他在地面上把它们摆成如图（三层）的形式，然后，他把露出的表面都涂上颜色．
（1）图中的正方体一共有多少个？
（2）一点颜色都没涂上颜色的正方体有多少个？
（3）如果画家摆按此方式摆成七层，那又要多少个正方体？同样涂上颜色，又有多少个正方体没有涂上一点颜色？

Answer 1

解：（1）图中的正方体一共有1+4+9=14个；
（2）一点颜色都没涂上颜色的正方体有1个；
（3）七层的正方体一共的个数1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²=140个；
没有涂上一点颜色的正方体1²+2²+3²+4²+5²=55个．
答：（1）图中的正方体一共有14个．
（2）一点颜色都没涂上颜色的正方体有1个．
（3）如果画家摆按此方式摆成七层，要140个正方体，同样涂上颜色，有55个正方体没有涂上一点颜色．
分析：（1）图中的正方体一共的个数=三层的个数的和；
（2）观察图形可知最底层正中间一个没涂上颜色；
（3）观察图形可知最底层有7²个正方体，第2层有6²个正方体，第3层有5²个正方体，第4层有4²个正方体，第5层有3²个正方体，第6层有2²个正方体，第7层有1²个正方体，相加即可求出摆成七层的正方体一共的个数；
没有涂上一点颜色的正方体第5层有1²个正方体，第4层有2²个正方体，第3层有3²个正方体，第4层有4²个正方体，最底层有5²个正方体，相加即可求出．
点评：本题考查学生对简单几何图形的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．