Question

为了改善市民的生活环境,我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△内修建矩形水池,使顶点、在斜边上,、分别在直角边、上;又分别以、、为直径作半圆,它们交出两弯新月（图中阴影部分）,两弯新月部分栽植花草;其余空地铺设地砖．其中,．设米,米．

（1）求与之间的函数解析式;
（2）当为何值时,矩形的面积最大?最大面积是多少?
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积,并求当为何值时,矩形的面积等于两弯新月面积的?

Answer 1

（1）y与x之间的函数解析式为y=24﹣x（0＜x＜18）;
（2）当x=9米时,矩形DEFG的面积最大,最大面积是108平方米;
（3）当x为（9±3）米时,矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的．

试题分析:（1）先解Rt△ABC,得出AC=12米,BC=36米,∠ABC=30°,再根据三角函数的定义求出AD=x,BE=x,然后根据AD+DE+BE=AB,列出y与x之间的关系式,进而求解即可;
（2）先根据矩形的面积公式得出DEFG的面积=xy,再将（1）中求出的y=24﹣x代入,得出矩形DEFG的面积=xy=﹣x²+24x,然后利用配方法写成顶点式,根据二次函数的性质即可求解;
（3）先证明两弯新月的面积=△ABC的面积,再根据三角形的面积公式求出两弯新月的面积,然后根据矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的列出关于x的一元二次方程,解方程即可求解．
试题解析:（1）在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=24米,∠BAC=60°,
∴AC=AB=12米,BC=AC=36米,∠ABC=30°,
∴AD==x,BE==x,
∵AD+DE+BE=AB,
∴x+y+x=24,
∴y=24﹣x﹣x=24﹣x,
即y与x之间的函数解析式为y=24﹣x（0＜x＜18）;
（2）∵y=24﹣x,
∴矩形DEFG的面积=xy=x（24﹣x）=﹣x²+24x=﹣（x﹣9）²+108,
∴当x=9米时,矩形DEFG的面积最大,最大面积是108平方米;
（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S₁、S₂、S₃,两弯新月面积为S,
则S₁=πAC²,S₂=πBC²,S₃=πAB²,
∵AC²+BC²=AB²,
∴S₁+S₂=S₃,
∴S₁+S₂﹣S=S₃﹣S_△ABC,
∴S=S_△ABC,
∴两弯新月的面积S=AC•BC=×12×36=216（平方米）．
如果矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的,
那么﹣（x﹣9）²+108=×216,
化简整理,得（x﹣9）²=27,
解得x=9±3,符合题意．
所以当x为（9±3）米时,矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的．
考点:二次函数的应用．