Question

5．已知△ABC中，AB＞AC，D为射线BA上一点（不与B，A重合），∠ADC=∠ACD，设∠ACB=α，∠ABC=β．
（1）如图（1），点D在AB边上，
①若α=90°，β=36°，则∠BCD=27度；
②试用含α，β的式子表示∠BCD，并说明理由；
（2）如图（2），点D在BA的延长线上，根据已知补全图形，并直接写出用α，β表示∠BCD的式子．

Answer 1

分析 （1）①如图1，利用三角形外角性质得∠ADC=∠B+∠BCD，加上∠ACD=∠ACB-∠BCD，∠ADC=∠ACD，于是∠B+∠BCD=∠ACB-∠BCD，易得∠BCD=$\frac{1}{2}$（α-β），然后把α=90°，β=36°代入计算可得到∠BCD的度数；
②由①可得∠BCD与α和β的关系；
（2）如图2，利用三角形内角和得到∠ADC=180°-∠B-∠BCD，加上∠ACD=∠BCD-∠ACB，∠ADC=∠ACD，则180°-∠B-∠BCD=∠BCD-∠ACB，然后整理即可得到∠BCD与α和β的关系．

解答 解：（1）①如图1，
∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠ACD=∠ACB-∠BCD，
而∠ADC=∠ACD，
∴∠B+∠BCD=∠ACB-∠BCD，
即β+∠BCD=α-∠BCD，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$（α-β），
当α=90°，β=36°，∠BCD=$\frac{1}{2}$（90°-36°）=27°；
故答案为27；
②由①得∠BCD=$\frac{1}{2}$（α-β），
（2）如图2，∵∠ADC=180°-∠B-∠BCD，∠ACD=∠BCD-∠ACB，
而∠ADC=∠ACD，
∴180°-∠B-∠BCD=∠BCD-∠ACB，
即180°-β-∠BCD=∠BCD-α，
∴∠BCD=90°-$\frac{1}{2}$（α-β）．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．