Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD为边BC上的高．
（1）若AB=6，AC=4，AD=3，求⊙O的直径AE的长度；
（2）若AB+AC=10，AD=4，求⊙O的直径AE的长的最大值，并指出此时边AB的长．

Answer 1

分析：（1）即证AC：AE=AD：AB，证明它们所在的三角形相似．连接BE，则∠ABE=90°=∠ADC，∠E=∠D（同弧所对的圆周角相等）．所以△ABE∽△ADC，进而求出即可；
（2）根据已知得出可求AB、AD=10-AB的长，运用（1）的结论，再利用二次函数的最值求解．

解答：（1）证明：连接BE．
∵AE是直径，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC．
又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABE∽△ADC．
∴

AC

AE

=

AD

AB

，
∴AC•AB=AE•AD．
∴AE=

AC•AB

AD

=

6×4

3

=8，

（2）解：∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB，
∵AD=4，
由（1）中AC•AB=AE•AD，
∴AE=

AB(10-AB)

4

=-

AB 2

4

+

5

2

AB=-

1

4

（AB-5）²+

25

4

，
∴⊙O的直径AE的长的最大值为：

25

4

，此时边AB的长为5．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值问题．利用线段的乘积相等得出AE=

AB(10-AB)

4

是解题关键．